Question

據環保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數為．現已知相距18的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為，它們連線上任意一點C處的污染指數等于兩化工廠對該處的污染指數之和．設（）．
（1）試將表示為的函數； （2）若，且時，取得最小值，試求的值．

Answer 1

(1) ， (2) 8．

試題分析：(1)解實際問題應用題，關鍵要正確理解題意，正確列出等量關系，注意考慮函數定義域. 設點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污染程度為，其中為比例系數，且．從而點C處受污染程度．定義域為 (2) 因為，所以，，求復雜分式函數最值，通常考慮利用導數求解. ,令，得，因此函數在單調減，在單調增，即在時函數取極小值，也是最小值. 又此時，解得，經驗證符合題意．
解：（1）設點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污染程度為，其中為比例系數，且．                 4分
從而點C處受污染程度．         6分
（2）因為，所以，，             8分
，令，得，       12分
又此時，解得，經驗證符合題意．
所以，污染源B的污染強度的值為8．                14分