Question

（2013•西城區(qū)二模）已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₂=8，a₃+a₄=48．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₄a_n．證明：{b_n}為等差數(shù)列，并求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論和對數(shù)的運算法則進行化簡，再計算b_n+1-b_n是否是一個常數(shù)即可判定，若是利用等差數(shù)列的前n項和公式即可．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意 q＞0．
∵a₂=8，a₃+a₄=48，∴a₁q=8，a1q2+a1q3=48．
兩式相除得 q²+q-6=0，
解得 q=2，舍去 q=-3．
∴a1=

a2

q

=4．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為 an=a1•qn-1=2n+1．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得 bn=log4an=

n+1

2

．
∵bn+1-bn=

n+2

2

-

n+1

2

=

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是首項為1，公差為d=

1

2

的等差數(shù)列．
∴Sn=nb1+

n(n-1)

2

d=

n2+3n

4

．

點評：熟練掌握等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算法則、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的前n項和公式是解題的關(guān)鍵．