Question

【題目】隨著節假日外出旅游人數增多，倡導文明旅游的同時，生活垃圾處理也面臨新的挑戰，某海濱城市沿海有三個旅游景點，在岸邊兩地的中點處設有一個垃圾回收站點（如圖），兩地相距10，從回收站觀望地和地所成的視角為，且，設；

（1）用分別表示和，并求出的取值范圍；

（2）某一時刻太陽與三點在同一直線，此時地到直線的距離為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）的最大值為10．

【解析】試題分析：（1）本題考查解三角形的實際應用，由圖根據余弦定理，在中， ，又因為，所以前面的表達式轉化為，同理，在中， ，這樣結合前面得到的等式，可以用分別表示出和；（2）由于，所以的面積與的面積相等，因此的面積等于，又，于是可以將轉化為關于的函數，即，從而轉化為求函數最大值.

試題解析：（1）在中， ， ，

由余弦定理得， ，

又，所以 ①

在中， ，

由余弦定理得，

②

①+②得，

①-②得， ，

所以，即，

又，即，所以．

（2），

故，

又，設，

所以， ，

又， ， 在上都是增函數；

所以， 在上是增函數，

所以的最大值為，即的最大值為10．

（利用單調性定義證明在上是增函數，同樣給滿分；如果直接說出在上是增函數，但未給出證明或討論，扣1分）