Question

2．已知拋物線C：y²=4x，過焦點F作與x軸垂直的直線l₁，C上任意一點P（x₀，y₀）（y₀≠0）處的切線為l，l與l₁交于M，l與準線交于N，則$\frac{MF}{NF}$=1．

Answer 1

分析 由拋物線方程，求導，利用導數的幾何意義，求得P點的切線方程的斜率，求得切線方程，當x=-1時，求得N點坐標，由$\overrightarrow{PF}$=（1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{FN}$=（-2，$\frac{2（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}$），則$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{FN}$=0，$\overrightarrow{PF}$⊥$\overrightarrow{FN}$，由丨PQ丨=丨QF丨，則△NPQ≌△NPF，即可求得∠PNQ=∠PNF，即可求得∠PNF=∠NMF，即可求得MF=NF，則$\frac{MF}{NF}$=1，

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），準線為l：x=-1，
拋物線y²=4x兩邊對x求導，可得2yy′=4，即y′=$\frac{2}{y}$，
過P（x₀，y₀）（y₀≠0）的切線為l的斜率為$\frac{2}{{y}_{0}}$，切線的方程為y-y₀=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-x₀），
又y₀²=4x₀，即有y₀y=2（x+x₀），
令x=-1，可得N（-1，$\frac{2（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}$），
∴$\overrightarrow{PF}$=（1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{FN}$=（-2，$\frac{2（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}$），
∴$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{FN}$=-2（1-x₀）-y₀•$\frac{2（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}$=0，
∴$\overrightarrow{PF}$⊥$\overrightarrow{FN}$，
過P做PQ垂直于x=-1，交x=-1于Q，
由橢圓的定義可知：丨PQ丨=丨QF丨，
∴△NPQ≌△NPF，
∴∠PNQ=∠PNF，
∵∠PNQ=∠NMF，
∴∠PNF=∠NMF，
∴MF=NF，
$\frac{MF}{NF}$=1，
故答案為：1．

點評 本題考查導數的幾何意義，向量數量積的坐標表示，直線垂直的充要條件，拋物線的性質及相似三角形的性質的綜合利用，考查數形結合思想，屬于中檔題．