Question

已知函數(shù)f（x）=，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求證：S_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式把a(bǔ)_n代入求得數(shù)列的遞推式，兩邊取倒數(shù)整理可得-=3進(jìn)而判斷出{}為等差數(shù)列首項(xiàng)為1，公差為3，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入S_n進(jìn)而利用裂項(xiàng)法求得數(shù)列的和，進(jìn)而根據(jù)（1-）＜證明原式．
解答：解：（1）依題意可知a_n+1=f（a_n）=；
由于a₁=1不為0，所以a_n+1=f（a_n）都不為0，
上式兩邊同取倒數(shù)得到：
=；
∴=3+； 即：-=3
∴{}為等差數(shù)列首項(xiàng)為1，公差為3
∴=1+（n-1）×3=3n-2
∴a_n=
（2）證明：由（1）可知a_n=
∴a_na_n+1==（-）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（1-++…-）=（1-）＜
原式得證．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力．