Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，數列是公比為2的等比數列．
（1）證明：數列{a_n}成等比數列的充要條件是a₁=3；
（2）設b_n=5ⁿ-（-1）ⁿa_n（n∈N^*）．若b_n＜b_n+1對n∈N^*恒成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知S_n+1=（a₁+1）•4^n-1．．先證明充分性：當a₁=3時，，所以對n∈N^*，都有，即數列{a_n}是等比數列．再證明必要性：因為{a_n}是等比數列，所以，即，解得a₁=3．
（2）當n=1時，b₁=5+a₁；當n≥2時，b_n=5ⁿ-（-1）ⁿ×3（a₁+1）×4^n-2（a₁＞-1）．當n為偶數時，15（a₁+1）×4^n-2＞-4×5ⁿ恒成立．故a₁∈（-1，+∞）．當n為奇數時，b₁＜b₂且b_n＜b_n+1（n≥3）恒成立．5+a₁＜25-3（a₁+1），得．由此入手能夠得到a₁的取值范圍．
解答：解：（1）因為數列是公比為2的等比數列，
所以，
即S_n+1=（a₁+1）•4^n-1．
因為所以
顯然，當n≥2時，．
①充分性：當a₁=3時，，所以對n∈N^*，都有，即數列{a_n}是等比數列．
②必要性：因為{a_n}是等比數列，所以，即，解得a₁=3．
（2）當n=1時，b₁=5+a₁；當n≥2時，b_n=5ⁿ-（-1）ⁿ×3（a₁+1）×4^n-2（a₁＞-1）．
①當n為偶數時，5ⁿ-3（a₁+1）×4^n-2＜5ⁿ⁺¹+3（a₁+1）×4^n-1恒成立．
即15（a₁+1）×4^n-2＞-4×5ⁿ恒成立．故a₁∈（-1，+∞）．
②當n為奇數時，b₁＜b₂且b_n＜b_n+1（n≥3）恒成立．
由b₁＜b₂知，5+a₁＜25-3（a₁+1），得．
由b_n＜b_n+1對n≥3的奇數恒成立，知5ⁿ+3（a₁+1）×4^n-2＜5ⁿ⁺¹-3（a₁+1）×4^n-1恒成立，
即15（a₁+1）×4^n-2＜4×5ⁿ恒成立，所以恒成立．
因為當對n≥3的奇數時，的最小值為，所以．
又因為，故．
綜上所述，b_n＜b_n+1對n∈N^*恒成立時，．
點評：本題考查等比數列的性質，解題時感受知識點的有效組合，注意積累解題方法．