Question

【題目】己知函數f（x）=|2|x|﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）≤1的解集A；
（Ⅱ）當m，n∈A時，證明：|m+n|≤mn+1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f（x）≤1即|2|x|﹣1|≤1． ∴﹣1≤2|x|﹣1≤1，∴|x|≤1
解得：﹣1≤x≤1，所以A=[﹣1，1]
（Ⅱ）證明：要證：|m+n|≤mn+1，即證（m+n）2≤（mn+1）2
因為 （m+n）2﹣（mn+1）2=m2+n2﹣m2n2﹣1=（m2﹣1）（1﹣n2）
因為m，n∈A，所以m2≤1，n2≤1，所以（m2﹣1）（1﹣n2）≤0
所以（m+n）2≤（mn+1）2
所以，|m+n|≤mn+6
【解析】（Ⅰ）去掉絕對值，即可求不等式f（x）≤1的解集A；（Ⅱ）當m，n∈A時，利用分析法即可證明：|m+n|≤mn+1．
【考點精析】關于本題考查的不等式的證明，需要了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能得出正確答案．