Question

現有甲、乙兩個容器，分別盛有濃度為10％、20％的某種飲料各500 ml．實驗人員對它們進行調和試驗，調和操作程序是同時從甲、乙兩個容器中各取出100 ml溶液，分別倒入對方容器中并充分攪拌均勻，稱為第一次調和；然后又同時從第一次調和后的甲、乙兩個容器中各取出100 ml溶液分別倒入對方容器中并充分攪拌均勻，稱為第二次調和；依照上述操作程序反復進行調和試驗，記第n－1(n∈N*)次調和后甲、乙兩個容器中飲料的濃度分別為a_n和b_n．

(Ⅰ)試寫出a₁和b₁的值；

(Ⅱ)依據調和程序，試用n表示甲、乙兩個容器中兩種飲料的濃度的差b_n－a_n；

(Ⅲ)試求出第n－1(n∈N*)次調和后甲、乙兩個容器中飲料的濃度a_n、b_n關于n的表達式．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)依題設，a1＝10％，b1＝20％．2分 　　(Ⅱ)∵an＝＝an－1＋bn－1， 　　bn＝＝bn－1＋an－1．4分 　　∴bn－an＝(bn－1＋an－1)－(an－1＋bn－1)＝(bn－1－an－1)(n≥2)． 　　可知數列{bn－an}為首項是b1－a1＝10％，公比為的等比數列， 　　∴bn－an＝(b1－a1)＝10％＝．9分 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)bn－an＝　① 　　又an＋bn＝an－1＋bn－1＝…＝a1＋b1＝30％＝　②　10分 　　聯立①②得an＝－，bn＝＋．13分