Question

現有甲、乙兩個容器，分別盛有濃度為10%、20%的某種飲料各500ml．實驗人員對它們進行調和試驗，調和操作程序是同時從甲、乙兩個容器中各取出100ml溶液，分別倒入對方容器中并充分攪拌均勻，稱為第一次調和；然后又同時從第一次調和后的甲、乙兩個容器中各取出100ml溶液分別倒入對方容器中并充分攪拌均勻，稱為第二次調和；…依照上述操作程序反復進行調和試驗，記第n-1（n∈N*）次調和后甲、乙兩個容器中飲料的濃度分別為a_n和b_n．
（1）試寫出a₁和b₁的值．（2）依據調和程序，試用n表示甲、乙兩個容器中兩種飲料的濃度的差b_n-a_n．（3）試求出第n-1（n∈N*）次調和后甲、乙兩個容器中飲料的濃度a_n、b_n關于n的表達式．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題設，a₁=10%，b₁=20%．
（Ⅱ）∵a_n==a_n-1+b_n-1，
b_n==b_n-1+a_n-1．
∴b_n-a_n=（b_n-1+a_n-1）-（a_n-1+b_n-1）=（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．
可知數列{b_n-a_n}為首項是b₁-a₁=10%，公比為的等比數列，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）=10%=．
（Ⅲ）由（Ⅱ）b_n-a_n=①
又a_n+b_n=a_n-1+b_n-1═a₁+b₁=30%=②
聯立①②得a_n=-，b_n=+．
分析：（Ⅰ）根據題設知條件知a₁=10%，b₁=20%．
（Ⅱ）由a_n==a_n-1+b_n-1，b_n==b_n-1+a_n-1．知b_n-a_n=（b_n-1+a_n-1）-（a_n-1+b_n-1）=（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．由此能夠用n表示甲、乙兩個容器中兩種飲料的濃度的差b_n-a_n．
（Ⅲ）由b_n-a_n=和a_n+b_n=a_n-1+b_n-1═a₁+b₁=30%=聯立能夠求出a_n和b_n．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．