Question

現有甲、乙兩個容器，分別盛有濃度為10%、20%的某種飲料各500ml．實驗人員對它們進行調和試驗，調和操作程序是同時從甲、乙兩個容器中各取出100ml溶液，分別倒入對方容器中并充分攪拌均勻，稱為第一次調和；然后又同時從第一次調和后的甲、乙兩個容器中各取出100ml溶液分別倒入對方容器中并充分攪拌均勻，稱為第二次調和；…依照上述操作程序反復進行調和試驗，記第n－1（n∈N*）次調和后甲、乙兩個容器中飲料的濃度分別為a_n 和b_n．

(Ⅰ) 試寫出a₁ 和b₁的值；

(Ⅱ) 依據調和程序，試用n表示甲、乙兩個容器中兩種飲料的濃度的差b_n－a_n；

(Ⅲ) 試求出第n－1（n∈N*）次調和后甲、乙兩個容器中飲料的濃度a_n 、b_n關于n的表達式．

Answer 1

解析：(Ⅰ)依題設，a₁＝10%，b₁＝20%．……………………………………………………2分

(Ⅱ) ∵a_n＝＝a_n－1＋b_n－1，

b_n＝＝b_n－1＋a_n－1．……………………………………………………4分

∴b_n－a_n＝(b_n－1＋a_n－1)－(a_n－1＋b_n－1)＝( b_n－1－a_n－1)（n≥2）．

可知數列{ b_n－a_n }為首項是b₁－a₁＝10%，公比為的等比數列，

∴b_n－a_n＝(b₁－a₁)＝10%＝．……………………………………9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ) b_n－a_n＝………………………①

又a_n＋b_n＝a_n－1＋b_n－1＝…＝a₁＋b₁＝30%＝……②…………………………………10分

聯立①②得a_n＝－， b_n＝＋．……………………………13分