Question

如圖在棱長為1的正方體中，M,N分別是線段和BD上的點，且AM=BN=

（1）求||的最小值；

（2）當||達到最小值時，與，是否都垂直，如果都垂直給出證明；如果不是都垂直，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)；（2）垂直，詳見解析．

【解析】

試題分析：(1)作，連.易知,再由余弦定理可得：，則，根據二次函數的知識即可得到其最小值；建立空間直角坐標系，利用空間向量方法，寫出，，的坐標，利用數量積即可求證它們是否垂直．

試題解析：（1）作，連.易知

在，由余弦定理可得：

在，。當時，最小值=．

(2)以點為坐標原點,以所在的直線分別為軸建立直角坐標系,由(1)可知,,所以點,,,,,,

則,,,

,

即當||達到最小值時，與，是否都垂直.

考點：本題主要考查了立體幾何中的向量方法，以及運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．.