Question

（2013•泉州模擬）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線AC₁上任取一點P，以A為球心，AP為半徑作一個球．設AP=x，記該球面與正方體表面的交線的長度和為f（x），則函數f（x）的圖象最有可能的是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個特殊情形：①當x=1；②當x=

1

2

；③當x=

2

．其中①③兩種情形所得弧長相等且為函數f（x）的最大值，根據圖形的相似，②中弧長為①中弧長的一半．對照選項，即可得出答案．

解答：解：如圖，球面與正方體的表面都相交，
根據選項的特點，我們考慮三個特殊情形：①當x=1；②當x=

1

2

；③當x=

2

．
①當x=1時，以A為球心，1為半徑作一個球，該球面與正方體表面的交線分別是圖中的紅色的弧線，其弧長為：3×

1

4

×2π×1=

3π

2

，且為函數f（x）的最大值；
②當x=

1

2

時，以A為球心，

1

2

為半徑作一個球，該球面與正方體表面的交線分別是圖中的蘭色的弧線，根據圖形的相似，其弧長為①中弧長的一半；
③當x=

2

．以A為球心，

2

為半徑作一個球，該球面與正方體表面的交線分別是圖中的粉紅色的弧線，其弧長為：3×

1

4

×2π×1=

3π

2

，且為函數f（x）的最大值；
對照選項，B正確．
故選B．

點評：本小題主要考查棱柱的結構特征、函數的圖象等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．