Question

橢圓的離心率為，橢圓與直線x+2y+8=0相交于點P，Q，且，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：設出橢圓的標準方程，根據離心率及a、b、c的關系消去一個參數，使橢圓的標準方程中只含有一個參數；把直線方程代入橢圓的方程，轉化為關于y的一元二次方程，使用根與系數的關系以及兩點間的距離公式，求出這個參數的值，進而得到橢圓的標準方程．
解答：解：，則．由c²=a²-b²，得a²=4b²．
由消去x，得2y²+8y+16-b²=0．
由根與系數關系，得y₁+y₂=-4，．
|PQ|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）² =5（y₁-y₂）² =5[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]=10，
即5[16-2（16-b²）]=10，解得b²=9，則a²=36．
所以橢圓的方程為．
點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程、一元二次方程根與系數的關系，以及兩點間的距離公式的應用．