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已知橢圓的離心率為,橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離的最大值為
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)C(m,0)是線段OF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn),使得|AC|=|BC|,并說明理由.
【答案】分析:(1)結(jié)合已知,可求a,c,由b2=a2-c2可求b,進(jìn)而可求橢圓方程
(2)由題意可知0≤m<1,假設(shè)存在滿足題意的直線l,設(shè)l的方程為y=k(x-1),代入,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x1+x2,x1x2,根據(jù)y1+y2=k(x1+x2-2),從而可求B的中點(diǎn)為M,由|AC|=|BC|可得kCM•kAB=-1可得m,k之間得關(guān)系,結(jié)合m的范圍可求k
解答:解:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101230245722020256/SYS201311012302457220202020_DA/2.png">,所以,(4分)
∴b=1,橢圓方程為:                 (6分)
(2)由(1)得F(1,0),所以0≤m<1,假設(shè)存在滿足題意的直線l,設(shè)l的方程為y=k(x-1),
代入,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則  ①,(10分)
y1+y2=k(x1+x2-2)=
設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則M(),
∵|AC|=|BC|
∴CM⊥AB即kCM•kAB=-1

∴(1-2m)k2=m
∴當(dāng)時(shí),,即存在這樣的直線l
當(dāng),k不存在,即不存在這樣的直線l           (15分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程,直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用,方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,直線的斜率公式的應(yīng)用.屬于知識(shí)的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的離心率為e,兩焦點(diǎn)分別為F1、F2,拋物線C以F1為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn),點(diǎn)P為拋物線和橢圓的一個(gè)交點(diǎn),若e|PF2|=|PF1|,則e的值為(  )
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的離心率為
1
2
,焦點(diǎn)是(-3,0),(3,0),則橢圓方程為(  )
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在由圓O:x2+y2=1和橢圓C:
x2
a2
+y2
=1(a>1)構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中,已知橢圓的離心率為
6
3
,直線l與圓O相切于點(diǎn)M,與橢圓C相交于兩點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,使得
OA
OB
=
1
2
OM
2
,若存在,求此時(shí)直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知橢圓的離心率為
2
2
,準(zhǔn)線方程為x=±8,求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上6:30-7:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7:00-8:00之間,請你求出父親在離開家前能得到報(bào)紙(稱為事件A)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,A,B是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右頂點(diǎn),M是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),已知橢圓的離心率為e,右準(zhǔn)線l的方程為x=m.
(1)若e=
1
2
,m=4,求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線AM交l于點(diǎn)P,以MP為直徑的圓交MB于Q,若直線PQ恰過原點(diǎn),求e.

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同步練習(xí)冊答案
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