Question

點M（1，1）位于橢圓

x2

4

+

y2

2

=1內，過點M的直線與橢圓交于兩點A、B，且M點為線段AB的中點，求直線AB的方程及
|AB|的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程可得：

x 2 1

4

+

y 2 1

2

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

2

=1，兩式相減可得：

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0，又x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

y1-y2

x1-x2

=k，即可解出k，可得直線AB的方程，把直線方程與橢圓方程聯立可得根與系數的關系，利用弦長公式即可得出．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程可得：

x 2 1

4

+

y 2 1

2

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

2

=1，
兩式相減可得：

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0，
又x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

y1-y2

x1-x2

=k，
∴

2

4

+

2k

2

=0，解得k=-

1

2

．
∴直線AB的方程為：y-1=-

1

2

(x-1)，化為x+2y-3=0．
聯立

x+2y-3=0 x2+2y2=4

，化為3x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=

1

3

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 ×(22-4× 1 3 )

=

30

3

．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉化為把直線方程與橢圓方程聯立可得根與系數的關系、弦長公式、“點差法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．