Question

動圓C恒過定點F（-1，0），且與直線l：x=1相切
（1）求動圓圓心C的軌跡方程
（2）過點F作軌跡C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設AB、CD的中點分別為M，N，求線段MN的中點P的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意：C到點F（-1，0）距離與C到直線x=1距離相等，利用拋物線的定義，可得圓心的軌跡C方程；
（2）求出M，N的坐標，可得P的坐標，消去k，可得線段MN的中點P的軌跡方程．

解答： 解：（1）由題意C到點F（-1，0）距離與C到直線x=1距離相等，所以點C的軌跡是以F為焦點，直線x+1=0為準線的拋物線，其方程為y²=4x
（2）設AB斜率為k，將AB方程與拋物線方程聯立，求得M（

k2+2

k2

，

2

k

），將k換為-

1

k

得N（2k²+1，-2k），
設P（x，y），則x=1+

1

k2

+k2，y=

1

k

-k，
消去k，可得y²=x-3．

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查軌跡方程，確定M，N的坐標是關鍵．