Question

已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=

15

，AA₁=3，M為線段BB₁上的一動點，則當AM+MC₁最小時，△AMC₁的面積為

 

．

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：先將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開成平面連接AC₁，與BB₁的交點即為滿足AM+MC₁最小時的點M，由此可以求得△AMC₁的三邊長，再由余弦定理求出其中一角，由面積公式求出面積．

解答： 解：將直三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿棱BB₁展開成平面連接AC₁，與BB₁的交點即為滿足AM+MC₁最小時的點M，
由于AB=1，BC=2，AA₁=3，再結合棱柱的性質，可得BM=

1

3

AA₁=1，故B₁M=2，
∴AM=

2

，AC₁=2

6

，MC₁=2

2

，
cos∠AMC₁=

AM2+MC12-AC12

2AM•MC1

=

2+8-24

8 3

=-

3

2

，
∴sin∠AMC₁=

1

2

，
∴△AMC₁的面積

1

2

×

2

×2

2

×

1

2

=1．
故答案為1．

點評：本題重點考查了棱柱的結構特征、側面展開圖等知識，屬于中檔題．