Question

設(shè)0＜x＜1，a、b為正常數(shù)，則

a2

x

+

b2

1-x

的最小值為

（a+b）²

．

Answer 1

分析：由于[x+（1-x）]=1，故給要求的式子乘以[x+（1-x）]，然后展開由基本不等式求最值即可．

解答：解：

a2

x

+

b2

1-x

=（

a2

x

+

b2

1-x

）[x+（1-x）]=a²+b²+

(1-x)a2

x

+

xb2

1-x

由基本不等式可得a²+b²+

(1-x)a2

x

+

xb2

1-x

≥a²+b²+2

(1-x)a2 x • xb2 1-x

=a²+b²+2

a2b2

=a²+b²+2ab=（a+b）²
當(dāng)且僅當(dāng)

(1-x)a2

x

=

xb2

1-x

，即x=

a

a+b

時(shí)，取等號(hào)．
故答案為：（a+b）²

點(diǎn)評(píng)：本題為基本不等式求最值，給要求的式子乘以[x+（1-x）]是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．