Question

設等差數列{a_n}的前n項和S_n=2n²，在數列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=3b_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）按照a_n與S_n的關系式即可求得a_n，注意驗證n=1的情況；先判斷{b_n}為等比數列，根據等比數列的通項公式即可求得b_n；
（II）由（I）易求c_n，利用錯位相減法即可求得{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，
當n=1時，a₁=S₁=2，也符合上式，
∴a_n=4n-2，
∵b₁=1，b_n+1=3b_n，∴b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（Ⅱ）c_n=a_nb_n=2（2n-1）•3^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=2+6•3¹+10•3²+…+（2n-1）•3^n-1①，
3T_n=2•3¹+6•3²+…+（2n-1）•3ⁿ②，
①-②整理可得，T_n=（2n-2）•3ⁿ+2．

點評：本題考查等差等比數列的通項公式及數列求和，考查錯位相減法對數列求和，屬于中檔題．