Question

已知冪函數y=f（x）的圖象經過點（2，4），對于偶函數y=g（x）（x∈R），當x≥0時，g（x）=f（x）-2x．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求當x＜0時，函數y=g（x）的解析式，并在給  定坐標系下，畫出函數y=g（x）的圖象；
（3）寫出函數y=|g（x）|的單調遞減區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法，設f（x）=x^α，代入點（2，4），解指數方程即可得α值；
（2）利用偶函數的定義，設x＜0，則-x＞0，f（x）=f（-x），再代入已知解析式即可得x＜0時，函數y=g（x）的解析式，最后利用對稱性畫出函數圖象即可；
（3）先畫出函數y=|g（x）|的圖象，即將函數y=g（x）的圖象x軸下面的部分翻到上面，再根據圖象寫出此函數的單調減區間即可
解答：解：（1）設y=f（x）=x^α，代入點（2，4）
得4=2^α，
∴α=2，
∴f（x）=x²
（2）∵f（x）=x² ∴當x≥0時g（x）=x²-2x
設x＜0，則-x＞0，∵y=g（x）是R上的偶函數
∴f（x）=f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x
即當x＜0時，f（x）=x²+2x
圖象如右圖所示
（3）函數y=|g（x）|的圖象如圖
由圖象知，函數y=|g（x）|的單調遞減區間是：（-∞，-2]，[-1，0]，[1，2]
點評：本題考查了冪函數的定義，待定系數法求函數解析式，利用函數的對稱性求函數解析式的方法，函數圖象的畫法和函數圖象的翻折變換