Question

已知函數．
(Ⅰ)若在上的最大值為，求實數的值；
(Ⅱ)若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，設，對任意給定的正實數，曲線 上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．
（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線 上總存在兩點，，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．

試題分析：（Ⅰ）由，得，
令，得或．
當變化時，及的變化如下表：

		-		+		-
		↘	極小值	↗	極大值	↘

由，，，
即最大值為，．                          4分
（Ⅱ）由，得．
，且等號不能同時取，，即 
恒成立，即．                     6分
令，求導得，，
當時，，從而，
在上為增函數，，．          8分
（Ⅲ）由條件，，
假設曲線上存在兩點，滿足題意，則， 只能在軸兩側，
不妨設，則，且．
是以為直角頂點的直角三角形，，
    ，
是否存在，等價于方程在且時是否有解．            10分
①若時，方程為，化簡得，此方程無解；
②若時，方程為，即，
設，則，
顯然，當時，，
即在上為增函數，
的值域為，即，當時，方程總有解．
對任意給定的正實數，曲線 上總存在兩點，，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．    14分
點評：難題，在給定區間，導數非負，函數為增函數，導數非正，函數為減函數。涉及“不等式恒成立”問題，往往通過構造函數，轉化成求函數的最值問題，利用導數加以解決。本題（III）需要分類討論，易于出錯，是叫男的一道題目。