Question

【題目】對于定義在上的函數，如果對于任意的，存在常數都有成立，則稱為函數在上的一個上界.已知函數.

（1）當時，試判斷函數在上是否存在上界，若存在請求出該上界，若不存在請說明理由；

（2）若函數在上的上界為3，求出實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數在上不存在上界，詳見解析；（2）[-3,3]

【解析】

（1）當時，+，由此可求出函數的單調性和值域，從而得到結論；

（2）由題意知，|在上恒成立，將不等式進行變形可得，，化簡整理得，，則，設，則=，=，分別求出在上的最大值和在上的最小值即可得到結果.

（1）當時，+，

因為在上遞減，所以，

即在的值域為，故不存在常數>0，使|成立，

所以函數在上不存在上界；

（2）由題意知，|在上恒成立.

，，

所以在上恒成立，

所以，

設，則=，=，由得，

設1，－=，

－=，

所以在上遞減，在上的最大值為=－3，

而在上遞增，在上的最小值為=3，

所以實數的取值范圍為[-3,3].