Question

已知函數F(x)=

1

3

ax3+bx2+cx(a≠0)，F'（-1）=0．
（1）若F（x）在x=1處取得極小值-2，求函數F（x）的單調區間；
（2）令f（x）=F'（x），若f′（x）＞0的解集為A，且滿足A∪（0，1）=（0，+∞），求

c

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數F(x)=

1

3

ax3+bx2+cx(a≠0)，F'（-1）=0，且F（x）在x=1處取得極小值-2，我們易構造出一個關于a，b，c的三元一次方程組，解方程組，求出a，b，c的值，即可得到導函數的解析式，分析導函數的符號，即可求出函數F（x）的單調區間；
（2）由f（x）=F'（x），我們易求出f'（x）的解析式，若f'（x）＞0的解集為A，且滿足A∪（0，1）=（0，+∞），則0≤

-a-c

2a

＜1，解不等式即可得到

c

a

的取值范圍．

解答：解：（1）因F'（x）=ax²+2bx+c由題意得：

F′(-1)=0 F′(1)=0 F(1)=-2

即

a-2b+c=0 a+2b+c=0 1 3 a+b+c=-2

解得

a=3 b=0 c=-3

所以F'（x）=3x²-3，
由F'（x）＞0得x＜-1或x＞1，故增區間為（-∞，-1），（1，+∞）
由F'（x）＜0，得-1＜x＜1，故減區間為（-1，1）（-1、1）
（2）由f（x）=F'（x），
得f'（x）=2ax+a+c，
由f'（x）＞0，
得2ax+a+c＞0
又A∪（0，1）=（0，+∞），
故a＞0且0≤

-a-c

2a

＜1，
得-3＜

c

a

≤-1．

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，利用函數研究函數的極值，其中根據已知函數的解析式，求出函數的導函數是解答此類問題的關鍵．