Question

已知函數．

（1）求的單調區間；

（2）若在上恒成立，求所有實數的值；

（3）對任意的，證明：

 

Answer 1

（1）當時，，減區間為；當時，遞增區間為，遞減區間為；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用導數判斷函數的單調性，就是在定義域內考慮 導函數的符號，先求導函數得，，令，得，討論根與定義域的關系，當時，，減區間為；當時，將定義域分段，分別考慮導函數的符號，即得函數的單調區間；（1）只需函數的最大值小于等于0即可，由（1）得，當時，減區間為，且，故不滿足；當時，，記，可求得，故，故；（3）由（2）得，當且僅當時，恒成立，即，又，結合起來證明即可.

試題解析：（1）， 1分

當時，，減區間為 2分

當時，由得，由得 3分

∴遞增區間為，遞減區間為 4分

（2）由（1）知：當時，在上為減區間，而

∴在區間上不可能恒成立 5分

當時，在上遞增，在上遞減，

，令， 6分

依題意有，而，且

∴在上遞減，在上遞增，

∴，故 9分

（3）由（2）知：時，且恒成立

即恒成立

則

11分

又由知在上恒成立，

∴ 13分

綜上所述：對任意的，證明： 14分

考點：1、利用導數判斷函數的單調性；2、利用導數求函數的極值和最值.