Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若有兩個極值點，且恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）對函數求導，分，和三種情況，討論導函數的正負，進而可得到函數的單調性；

（2）由（1）知時，有兩個極值點，可得，，整理可得，不等式可化為，結合可得到，令上述不等式等價于當時恒成立，構造函數，求導并討論單調性，使其最小值大于0即可求出答案.

（1）函數的定義域為，

，

①若，則，顯然，所以在單調遞減；

②若，由得，此時，

由得；

由得.

即在區間單調遞增，在區間和單調遞減；

③若，，

則在區間單調遞增，在區間單調遞減.

（2）由（1）知時，有兩個極值點，，是方程的兩個根，，，

∴

，

所以原不等式等價于，

又，∴，

即，

令，上述不等式可化為，當時，恒成立.

設，則，

令，則，

當時，，即在上單調遞增，

所以時，.

①當即時，，即在上單調遞增，符合題意；

②當時，因為在上單調遞增，記，

則時，時，

即時單調遞減，所以存在，使，不合題意，

綜上所述：.