Question

對(duì)任意實(shí)數(shù)x規(guī)定f（x）取5-x，x+2，

1

2

（5-x）三個(gè)值中的最小值，則f（x）（　　）

• A．有最大值

  7

  3

  ，最小值0
• B．有最大值

  7

  3

  ，無(wú)最小值
• C．有最大值0，無(wú)最小值
• D．無(wú)最大值，無(wú)最小值

Answer 1

分析：根據(jù)題意得到函數(shù)f（x）分段函數(shù)的表達(dá)式，然后在各部分分別研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到各部分的最大值與最小值的情況，最后加以綜合可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，可得f（x）=

x+2        (x≤ 1 3 ) 1 2 (5-x)     ( 1 3 ＜x＜5) 5-x           (x≥5)

當(dāng)x≤

1

3

時(shí)，函數(shù)解析式為f（x）=x+2，在（-∞，

1

3

]上是增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為f（

1

3

）=

7

3

，無(wú)最小值；
當(dāng)

1

3

＜x＜5時(shí)，函數(shù)解析式為f（x）=

1

2

（5-x），在（

1

3

，5）上是減函數(shù)，
函數(shù)的最大值小于

7

3

，最小值大于0；
當(dāng)x≥5時(shí)，函數(shù)解析式為f（x）=5-x，在[5，+∞）上是減函數(shù)，
函數(shù)的最大值為f（5）=0，無(wú)最小值．
綜上所述，可得函數(shù)f（x）有最大值

7

3

，無(wú)最小值．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題給出分段函數(shù)模型，求函數(shù)的最大值和最小值．著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)最值的求法等知識(shí)，屬于中檔題．