Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=

a

a-1

（a_n-1）（a為常數且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

2Sn

an

+1，若數列{b_n}為等比數列，求a的值；
（3）在滿足條件（2）的情形下，設c_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

），數列{c_n}的前n項和T_n，求證：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由S_n=

a

a-1

（a_n-1），（a為常數且a≠0，a≠1）．可得當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=aa_n-1，利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）b_n=

2Sn

an

+1=

2a a-1 (an-1)

an

+1=

2a

a-1

(1-

1

an

)+1，由于數列{b_n}為等比數列，可得

b

2 2

=b1b3，解出即可．
（3）c_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

）=2-(

1

1+ 1 3n

+

1

1- 1 3n+1

)=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

．再利用“裂項求和”即可得出．

解答： （1）解：∵S_n=

a

a-1

（a_n-1），（a為常數且a≠0，a≠1）．
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

a

a-1

[(an-1)-(an-1-1)]=

a

a-1

(an-an-1)，
化為a_n=aa_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列，
a1=

a

a-1

(a1-1)，解得a₁=a．
∴a_n=aⁿ．
（2）解：b_n=

2Sn

an

+1=

2a a-1 (an-1)

an

+1=

2a

a-1

(1-

1

an

)+1，
∵數列{b_n}為等比數列，
∴

b

2 2

=b1b3，
∴[

2a

a-1

(1-

1

a2

)+1]2=[

2a

a-1

(1-

1

a

)+1][

2a

a-1

(1-

1

a3

)+1]，
化為

2a

a-1

(

1

a3

+

1

a

-

1

a2

)(

2a

a-1

+1)=0，
∴3a-1=0，
解得a=

1

3

．
（3）證明：c_n=2-（

1

1+an

+

1

1-an+1

）=2-(

1

1+ 1 3n

+

1

1- 1 3n+1

)=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

．
∴T_n＜(

1

3

-

1

32

)+(

1

32

-

1

33

)+…+(

1

3n

-

1

3n+1

)
=

1

3

-

1

3n+1

＜

1

3

．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及其性質、“裂項求和”、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．