Question

1．數列{a_n}的通項公式為a_n=-n+p，數列{b_n}的通項公式為b_n=2^n-5，設c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，{a}_{n}≤{b}_{n}}\\{{b}_{n}，{a}_{n}＞{b}_{n}}\end{array}\right.$，若在數列{c_n}中c₈＞c_n（n∈N^*，n≠8），則實數p的取值范圍是（　　）

• A． （11，25）
• B． （12，16]
• C． （12，17）
• D． [16，17）

Answer 1

分析 推導出c_n是a_n，b_n中的較小者，{a_n}是遞減數列，{b_n}是遞增數列，c₈是c_n的最大者，n=1，2，3，…7，8時，c_n遞增，n=8，9，10，…時，c_n遞減，由此能求出實數p的取值范圍．

解答 解：當a_n≤b_n時，c_n=a_n，當a_n＞b_n時，c_n=b_n，∴c_n是a_n，b_n中的較小者，
∵a_n=-n+p，∴{a_n}是遞減數列，
∵b_n=2^n-5，∴{b_n}是遞增數列，
∵c₈＞c_n（n≠8），∴c₈是c_n的最大者，
則n=1，2，3，…7，8時，c_n遞增，n=8，9，10，…時，c_n遞減，
∴n=1，2，3，…7時，2^n-5＜-n+p總成立，
當n=7時，2^7-5＜-7+p，∴p＞11，
n=9，10，11，…時，2^n-5＞-n+p總成立，
當n=9時，2^9-5＞-9+p，成立，∴p＜25，
而c₈=a₈或c₈=b₈，
若a₈≤b₈，即2³≥p-8，∴p≤16，
則c₈=a₈=p-8，
∴p-8＞b₇=2^7-5，∴p＞12，
故12＜p≤16，
 若a₈＞b₈，即p-8＞2^8-5，∴p＞16，
∴c₈=b₈=2³，
那么c₈＞c₉=a₉，即8＞p-9，
∴p＜17，
故16＜p＜17，
綜上，12＜p＜17．
故選：C．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列、等比數列的性質的合理運用．