Question

對于任意x∈R，f（x）=ax²+bx+c（a＜b）的值恒為非負實數，則

a+b+c

b-a

的最小值為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：先由已知條件找到a，b，c須滿足的條件，從而可得

a+b+c

b-a

≥

(2a+b)2 4a

b-a

=

(2a+b)2

4a(b-a)

=

(3a+b-a)2

4a(b-a)

，結合基本不等式可求最小值

解答：解：①若a=0可知f（x）=bx+c為一次函數，函數值不可能恒為非負
②若a≠0，則由二次函數的性質可知，

a＞0 △=b2-4ac≤0

∵0＜a＜b
∴由b²≤4ac可得c≥

b2

4a

∴a+b+c≥a+b+

b2

4a

=

(2a+b)2

4a

=

(3a+b-a)2

4a(b-a)

≥

4•3a•(b-a)

4a

∴

a+b+c

b-a

≥

(2a+b)2 4a

b-a

=

(2a+b)2

4a(b-a)

=

(3a+b-a)2

4a(b-a)

≥

4(b-a)×3a

4a(b-a)

=3
當且僅當3a=b+a即b=4a，且c=4a時取等號
故

a+b+c

b-a

的最小值為3
故選D

點評：二次函數中的恒成立問題：大于0恒成立，須開口向上且判別式小于0，還要注意基本不等式（a+b）²≥4ab在求解最值中的應用