Question

20、已知函數f（x）=-e^x+kx+1，x∈R．
（I）若k=2e，試確定函數f（x）的單調區間；
（II）若k＞0，且對于任意x∈R，f（|x|）＜1恒成立，試確定實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，要確定函數的單調區間，先求出函數的導函數，令其大于零求出函數的增區間；令其小于零求出函數的減區間即可；
（II）判斷得出f（|x|）是偶函數，關于y軸對稱．f（|x|）＜1成立其實就是f（x）＜1對任意x≥0成立，由f'（x）=-e^x+k=0得x=lnk，討論k的單調區間保證f（x）＜1對任意x≥0成立，最后確定出k的范圍即可．

解答：解：（I）由k=2e得f（x）=-e^x+2ex所以f'（x）=-e^x+2e．
由f'（x）＞0得x＜ln2+1，故f（x）的單調遞增區間是（-∞，1+1+ln2）
由f'（x）＜0得x＞ln2+1，故f（x）的單調遞減區間是（1+ln2，+∞）
（II）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函數．
于是f（|x|）＜1對任意x∈R成立等價于f（x）＜1對任意x≥0成立．
由f'（x）=-e^x+k=0得x=lnk．
①當k∈（0，1]時，f'（x）=-e^x+k＜-1+k≤0（x＞0）．此時f（x）在[0，+∞）上單調遞減，故f（x）≤f（0）=0＜1，符合題意．
②當k∈（1，+∞）時，當x變化時f'（x），f（x）變化情況如下表：

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≤f（lnk）=-e^lnk+klnk+1．
依題意，-e^lnk+klnk+1＜1，又k＞1，∴1＜k＜e．
綜合①，②得，實數k的取值范圍是0＜k＜e．

點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力．利用導數研究函數極值的能力，函數恒成立的條件．