Question

已知函數f（x）=e^x-kx，其中k∈R；
（Ⅰ）若k=e，試確定函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若k＞0，且對于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實數k的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當k＞ln2-1且x＞0時，f（x）＞x²-3kx+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若k=e，利用導數求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若k＞0，且對于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，只需轉化為f（x）＞0對任意x≥0成立即可．
（Ⅲ）利用導數求函數的最值，利用導數證明不等式．

解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^x-ex，所以f'（x）=e^x-e．
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的單調遞增區間是（1，+∞），
由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的單調遞減區間是（-∞，1）．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函數．
于是f（|x|）＞0對任意x∈R成立等價于f（x）＞0對任意x≥0成立．
由f'（x）=e^x-k=0得x=lnk．
①當k∈（0，1]時，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此時f（x）在[0，+∞）上單調遞增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．
②當k∈（1，+∞）時，lnk＞0．
當x變化時f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依題意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．
綜合①，②得，實數k的取值范圍是0＜k＜e．
（Ⅲ）由題，f（x）＞x²-3kx+1，即e^x-kx＞x²-3kx+1?e^x-x²+2kx-1＞0
記g（x）=e^x-x²+2kx-1，則g'（x）=e^x-2x+2k，記h（x）=e^x-2x+2k
則h'（x）=e^x-2，得h'（x）＞0?e^x＞2?x＞ln2
因此，h（x）在（-∞，ln2）上遞減，在（ln2，+∞）上遞增；
得h（x）_min=h（ln2）=2-2ln2+2k；
因為，k＞ln2-1，可得h（x）_min=2-2ln2+2k＞0
所以，g'（x）＞0，說明g（x）在R上遞增，因此，當x＞0時有g（x）＞g（0）=0
由上，e^x-x²+2kx-1＞0，因此得f（x）＞x²-3kx+1；

點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質，要求熟練掌握導數的應用，考查學生的運算能力．