Question

已知函數f（x）=e^-x（x²+x+1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令f′（x）＜0，在定義域內解出x，即可得到函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到函數的單調區間，繼而得到函數f（x）在[-1，1]上的最值．

解答：解：由于函數f（x）=e^-x（x²+x+1），則f′（x）=e^-x（-x²+x），
令f′（x）＜0，
即-x²+x＜0，解得x＜0或x＞1，
則函數f（x）的單調遞減區間為：（-∞，0），（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的單調遞減區間為：（-∞，0），（1，+∞），
則f（x）的單調遞增區間為：（0，1），
又由f（-1）=e，f（1）=

3

e

，f（0）=1
故函數f（x）在[-1，1]上的最小值為1，最大值為e．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．