Question

已知圓x²+y²-9x=0與頂點在原點O，焦點在x軸上的拋物線交于A，B兩點，△AOB的垂心恰為拋物線的焦點，求拋物線C的方程．

Answer 1

分析：先設A點坐標為（x₁，y₁）則可得B點坐標，設拋物線方程為y²=2px，根據F為△AOB的垂心可得AF⊥OB，可得x₁和y₁關系式，又根據A在圓上和拋物線上，分別可得x₁和y₁的另兩個方程，最后聯立消去x₁和y₁即可求的p，進而拋物線方程可得．

解答：解：設A點坐標為（x₁，y₁）則B點坐標為（x₁，-y₁），設拋物線方程為y²=2px，則焦點F（

p

2

，0）
∵F為△AOB的垂心AF⊥OB，
∴（

p

2

-x₁）x₁+y₁²=0①
∵A在圓上，∴x²₁+y²₁-9x₁=0②
∵A在拋物線上，∴y²₁=2px₁，③
①②③聯立方程消去x₁，y₁，求得p=2
故拋物線方程為y²=4x，

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程和拋物線與其他圓錐曲線的關系．考查了學生綜合分析和解決問題的能力．