Question

已知圓x²+y²=9與直線l交于A、B兩點，若線段AB的中點M（2，1）
（1）求直線l的方程；
（2）求弦AB的長．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心O的坐標以及圓的半徑r，
（1）由M為弦AB的中點，根據垂徑定理的逆定理可得直線OM垂直于AB，由M和O的坐標求出直線OM的斜率，根據兩直線垂直時斜率滿足的關系求出直線AB的斜率，再由M在直線AB上，由M的坐標及求出的斜率寫出直線l的方程即可；
（2）利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，再由半徑r，利用垂徑定理以及勾股定理，即可求出弦AB的長．

解答：解：由圓x²+y²=9，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=3，
（1）∵線段AB的中點M（2，1），
∴直線AB與直線OM垂直，
又k_OM=

1-0

2-0

=

1

2

，
由kAB•kOM=-1，得kAB•

1

2

=-1，
∴k_AB=-2，
則直線l：y-1=-2（x-2）即2x+y-5=0；
（2）∵圓心（0，0）到直線l的距離d=

|-5|

22+12

=

5

，且r=3，
則|AB|=2

r2-d2

=2

32-( 5 )2

=4．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，兩直線垂直時斜率滿足的關系，垂徑定理，以及勾股定理，當直線與圓相交時，常常利用垂徑定理由垂直得中點，根據弦長的一半，圓的半徑以及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．