Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為圓， 是上一點， ，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）當過點的動直線與橢圓相交于不同兩點時，線段上取點，且滿足，證明點總在某定直線上，并求出該定直線．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）本問主要考查求橢圓標準方程，由，可得，所以，則在中， ， ，再根據余弦定理及，可以求出的值，于是可以求出橢圓的方程；（2）本問主要考查直線與橢圓的綜合應用，分析題意可知直線的斜率顯然存在，故設直線方程為，再聯立直線方程與橢圓方程，消去未知數得到關于的一元二次方程，根據韋達定理表示出兩點橫坐標之和及橫坐標之積，于是設點 ， 將題中條件轉化為橫坐標的等式，于是可以得出滿足的方程，即可以證明總在一條直線上.

試題解析：（1）由已知得，且，

在中，由余弦定理得，解得.

則，所以橢圓的方程為.

（2）由題意可得直線的斜率存在，

設直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得，

設，則.

設，由得

（考慮線段在軸上的射影即可），

所以，

于是，

整理得，（*）

又，代入（*）式得，

所以點總在直線上.