Question

函數f(x)=

3

sin2x+cos2x，給出下列三個命題：
①函數f(x)在區間[

π

6

，

2π

3

]上是減函數；
②直線x=

π

6

是函數f（x）的圖象的一條對軸稱；
③函數f（x）的圖象可以由函數y=2sin2x的圖象向右平移

π

12

而得到．
其中正確的是

①②

．（寫出所有正確結論的編號）

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，
①通過函數的單調減區間，直接判斷，函數f(x)在區間[

π

6

，

2π

3

]上是減函數，是否正確；
②利用x=

π

6

，函數是否取得最值，判斷直線x=

π

6

是函數f（x）的圖象的一條對軸稱是否正確；
③直接按照函數f（x）的圖象可以由函數y=2sin2x的圖象向右平移

π

12

而得到求出函數的解析式，即可判斷正誤．

解答：解：函數f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
①因為2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

 k∈Z，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

時函數單調遞減，
令k=0，-

π

3

≤x≤

2π

3

，函數f(x)在區間[

π

6

，

2π

3

]上是減函數；所以①正確．
②當x=

π

6

時，是函數f（x）=2sin（2×

π

6

+

π

6

）=2，
此時函數取得最大值，所以x=

π

6

是函數的圖象的一條對軸稱；正確．
③函數f（x）的圖象可以由函數y=2sin2x的圖象向右平移

π

12

而得到f（x）=2sin（2x-

π

6

），
不正確．
故答案為：①②．

點評：本題考查兩角和的正弦函數的應用，函數的單調性、對稱性、圖象的平移，考查基本知識的靈活運用．