Question

設a為實數，函數f(x)=x³-x²-x+a.

(1)求f(x)的極值;

(2)當a在什么范圍內取值時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點.

Answer 1

解：(1)f′(x)=3x²-2x-1.

    若f′(x)=0,則x=-或x=1.

    當x變化時,f′(x)、f(x)的變化情況如下表.

x	(-∞,-)	-	(-,1)	1	(1,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

    所以f(x)的極大值是f(-)=+a,極小值是f(1)=a-1.

(2)函數f(x)=x³-x²-x+a=(x-1)²(x+1)+a-1.

    由此可知x取足夠大的正數時有f(x)＞0,

x取足夠小的負數時有f(x)＜0,

    所以曲線y=f(x)與x軸至少有一個交點.

    結合f(x)的單調性可知,

    當f(x)的極大值+a＜0,即a∈(-∞,-)時,它的極小值也小于0,

    因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點,它在(1,+∞)上;

    當f(x)的極小值a-1＞0,即a∈(1,+∞)時,它的極大值也大于0，

    因此曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點,它在(-∞,-)上.

    所以當a∈(-∞,-)∪(1,+∞)時,曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點.