Question

已知數列{a_n}是等差數列，a₁=-6，a₃，a₅，a₆成等比數列且互不相等．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，k是整數，若不等式S_n＞a_n對一切n≥k的正整數n都成立，求k的最小值．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）設出等差數列的公差，由a₃，a₅，a₆成等比數列列式求得等差數列的公差，則等差數列的通項公式可求；
（Ⅱ）求出等差數列的前n項和，由S_n＞a_n求得n的范圍，再結合不等式對一切n≥k的正整數n都成立求得k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d．
由已知得a52=a3•a6，即（-6+4d）²=（-6+2d）•（-6+5d），
解得：d=0（舍去）或d=1，
故a_n=-6+（n-1）•1=n-7；
（Ⅱ）Sn=

n(a1+an)

2

=

n(-6+n-7)

2

=

n(n-13)

2

．
不等式S_n＞a_n，等價于

n(n-13)

2

＞n-7．
∴n²-15n+14＞0，解得n＜1或n＞14，n∈N．
又對一切n≥k的正整數n都成立，
∴正整數k的最小值為15．

點評：本題考查了等差數列的性質，考查了等差數列的前n項和，是中檔題．