Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）|x-2|，g（x）=2^x+x-2，其中a∈R．
（1）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；
（2）如果對任意實(shí)數(shù)m∈[0，1]，總存在實(shí)數(shù)n∈[0，2]，使得不等式f（m）≤g（n）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值的定義，去掉絕對值，將函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，再對分段函數(shù)的每一段研究它的單調(diào)性，即可確定f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為f（x）在[0，1]上的最大值小于等于g（x）在[0，2]上的最大值，即分別求f（x）在[0，1]上的最大值和g（x）在[0，2]上的最大值．對于g（x）易判斷出它的單調(diào)性，即可求得g（x）在[0，2]上的最大值；對于f（x），結(jié)合（1）的結(jié)論，分類討論即可求得f（x）在[0，1]上的最大值．列出不等式，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=（x-a）|x-2|，
∴f(x)=

(x-a)(x-2) ， x≥2 -(x-a)(x-2) ， x＜2

，
①當(dāng)a=2時，f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，+∞），f（x）無減區(qū)間； 
②當(dāng)a＞2時，f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，2），(

a+2

2

，+∞)，f（x）的遞減區(qū)間是(2，

a+2

2

)；
③當(dāng)a＜2時，f（x）的遞增區(qū)間是(-∞，

a+2

2

)，（2，+∞），f（x）的遞減區(qū)間是(

a+2

2

，2)．
（2）∵對任意實(shí)數(shù)m∈[0，1]，總存在實(shí)數(shù)n∈[0，2]，使得不等式f（m）≤g（n）成立，
∴f（x）在[0，1]上的最大值小于等于g（x）在[0，2]上的最大值，
當(dāng)x∈[0，2]時，g（x）=2^x+x-2單調(diào)遞增，
∴g（x）_max=g（2）=4．
當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=-（x-a）（x-2）=-x²+（2+a）x-2a，
①當(dāng)

a+2

2

≤0，即a≤-2時，f（x）_max=f（0）=-2a，
∴g（x）_max≤f（x）_max，即-2a≤4，解得a≥-2，
∴a=-2；                         
②當(dāng)0＜

a+2

2

≤1，即-2＜a≤0時，f（x）_max=f(

a+2

2

)=

a2-4a+4

4

，
∴g（x）_max≤f（x）_max，即

a2-4a+4

4

≤4，解得-2≤a≤6，
∴-2＜a≤0；           
③當(dāng)

a+2

2

＞1，即a＞0時，f（x）_max=f（1）=1-a，
∴g（x）_max≤f（x）_max，即1-a≤4，解得a≥-3，
∴a＞0．
綜合①②③，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性和最值的求解．對于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行研究．屬于中檔題．