Question

已知雙曲線x²-2y²=2的左、右兩個焦點為F₁，F₂，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設D（，0），過F₂且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡E于A、B兩點，若DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，利用橢圓定義，可知動點P的軌跡為橢圓，且該橢圓以F₁、F₂為焦點，長軸為4，從而可求橢圓方程；
（Ⅱ）設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，利用向量知識，即可得到結論．
解答：解：（Ⅰ）雙曲線的方程可化為，則|F₁F₂|=2  
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2 
∴P點的軌跡E是以F₁、F₂為焦點，長軸為4的橢圓         
由a=2，c=，∴b=1
∴所求方程為；
（Ⅱ）設l的方程為，則k≠0
代入橢圓方程可得（1+4k²）x²-k²x+12k²-4=0，
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-）=
∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，
∴（）⊥
∴（）•=0
∴--=0
∴
∴l的方程為．
點評：本題考查雙曲線的性質，考查橢圓的定義與標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．