Question

3．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面BMD₁N與棱CC₁，AA₁分別交于點M，N，且M，N均為中點．
（1）求證：AC∥面BMD₁N；
（2）若$AD=CD=2，D{D_1}=2\sqrt{2}，O$為AC的中點．BD₁上是否存在動點F，使得OF⊥面BMD₁N？若存在，求出點F的位置，并加以證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接MN，證明四邊形ACMN為平行四邊形，所以AN∥MN，利用線面平行的判定定理證明AC∥面BMD₁N；
（2）當點F滿足D₁F=3BF時，面ACF⊥面BD₁E，證明AC⊥OF，MN⊥OF，即可得出結論．

解答 （1）證明：連接MN，因為M，N均為中點，所以$AN=\frac{1}{2}A{A_1}，CM=\frac{1}{2}C{C_1}$，
又因為AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，所以AN∥CM，且AN=CM，
所以四邊形ACMN為平行四邊形，所以AN∥MN，
又因為MN?面BMD₁N，AC?面BMD₁N，所以AC∥面BMD₁N；
（2）解：當點F滿足D₁F=3BF時，面ACF⊥面BD₁E，證明如下：
連接BD交AC于O，則BD經過點O，取BD₁中點G，連接OF，DG，
則OF為三角形BDG邊DG上的中位線，所以OF∥DG，
因為$B{D_1}=2\sqrt{2}=D{D_1}$，且G為BD₁的中點，所以BD₁⊥DG，所以BD₁⊥OF，
因為底面ABCD為正方形，所以AC⊥BD，又DD₁⊥底面ABCD，所以AC⊥DD₁，
又BD∩DD₁=D，所以AC⊥面BDD₁，又OF?面BDD₁，所以AC⊥OF，
由第（1）問知AC∥MN，所以MN⊥OF，
又MN，BD₁是平面四邊形BMD₁N的對角線，所以它們必相交，所以OF⊥面BMD₁N．

點評 本題主要考查立體幾何中線面平行，線面垂直的證明，做題時綜合考查了學生的識圖能力，空間想象的能力以及計算能力．