Question

定義在R上的函數的圖象關于直線x=

3

2

對稱，且對任意的實數x都有f（x）=-f（x+

3

2

），f（-1）=1，f（0）=-2，則f（2013）+f（2014）+f（2015）=（　　）

• A、0
• B、-2
• C、1
• D、2

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：根據條件求出函數的周期性，利用函數的周期性以及對稱軸將自變量的值進行轉化，即可得到結論．

解答： 解：由f（x）=-f（x+

3

2

），得f（x+

3

2

）=-f（x），
即f（x+3）=-f（x+

3

2

）=f（x），
即函數的周期是3，
則f（2013）+f（2014）+f（2015）=f（671×3）+f（671×3+1）+f（671×3+2）
=f（0）+f（1）+f（2），
∵函數的圖象關于直線x=

3

2

對稱，
∴f（

3

2

+x）=f（

3

2

-x），
則f（

3

2

+

1

2

）=f（

3

2

-

1

2

），
即f（2）=f（1），
∵f（2）=f（2-3）=f（-1）=1，
∴f（0）+f（1）+f（2）=f（0）+2f（2）=-2+2=0，
故f（2013）+f（2014）+f（2015）=0，
故選：A

點評：本題主要考查函數值的計算，根據條件求出函數的周期性，利用函數奇偶性和對稱性進行轉化是解決本題的關鍵．