Question

過橢圓內一點M（1，1）的弦AB．
（1）若點M恰為弦AB的中點，求直線AB的方程；
（2）求過點M的弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是直線的一般式方程及動點軌跡方程的求法，（1）由于弦AB過點M（1，1），故我們可設出直線AB的點斜式方程，聯立直線與圓的方程后，根據韋達定理（根與系數的關系），我們結合點M恰為弦AB的中點，可得到一個關于斜率k的方程，解方程求出k值后，代入整理即可得到直線AB的方程．（2）設AB弦的中點為P，則由A，B，M，P四點共線，易得他們確定直線的斜率相等，由此可構造一個關于x，y的關系式，整理后即可得到過點M的弦的中點的軌跡方程．
解答：解：（1）設直線AB的斜率為k，則AB的方程可設為y-1=k（x-1）．
得x²+4（kx+1-k）²=16
得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4（1-k²）-16=0
，
．
．
∴．
（2）設弦AB的中點為P（x，y）
∵A，B，M，P四點共線，
∴k_AB=k_MP

∴．
點評：在求直線方程時，應先選擇適當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況．