【題目】已知函數
，其中
.
（1）若
在
上存在極值點，求a的取值范圍；
（2）設
，
，若
存在最大值，記為
，則當
時，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由
【答案】（1）
，
；（2）
（a）存在最大值，且最大值為
．
【解析】
（1）求出函數
的導數，將題意轉換為
在
上有解，由
在上遞增，得
，，求出
的范圍即可；
（2）求出函數的導數，得到
，求出（a）
，根據函數的單調性求出（a）的最大值即可．
解：（1）
，
，
由題意得，
在上有根（不為重根），
即在上有解，
由在上遞增，得，，
檢驗，
時，在上存在極值點，
，；
（2）中
，
若
，即
在
上滿足
，
在上遞減，
，
不存在最大值，則
；
方程有2個不相等的正實數根，
令其為
，
，且不妨設
，
則
，
在
遞減，在
遞增，在
遞減，
對任意
，有
，
對任意
，有
，
，
（a），
將
，
代入上式，消去，得：
（a）
，
，
，
，
由在
遞增，得
，
，
設
，
，，
，，，
，即
在
，遞增，
（e）
，
（a）存在最大值為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
平面
，底面
為正方形，且
.若四棱錐的每個頂點都在球
的球面上，則球的表面積的最小值為_____；當四棱錐的體積取得最大值時，二面角
的正切值為_______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，拋物線
與
軸所圍成的區域是一塊等待開墾的土地，現計劃在該區域內圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業用地，其中A、B在拋物線上，C、D在軸上.已知工業用地每單位面積價值為
元
，其它的三個邊角地塊每單位面積價值
元.
（1）求等待開墾土地的面積；
（2）如何確定點C的位置，才能使得整塊土地總價值最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB中點，PC＝3PE.
（1）求證：平面ADE⊥平面PBC；
（2）在AC上是否存在一點M，使得MB∥平面ADE？若存在，請確定點M的位置，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調查，并用如圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數（說明：圖中飲食指數低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數高于70的人，飲食以肉類為主）.
（1）根據以上數據完成下列
列聯表：
主食蔬菜 | 主食肉類 | 總計 | |
50歲以下 | |||
50歲以上 | |||
總計 |
（2）能否有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關？并寫出簡要分析.
參考公式和數據：
，
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求方程
的實數解；
（Ⅱ）如果數列
滿足
，
（
），是否存在實數
，使得
對所有的都成立？證明你的結論．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設數列的前
項的和為
，證明：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為考查某種藥物預防疾病的效果，隨機抽查了50只服用藥的動物和50只未服用藥的動得知服用藥的動物中患病的比例是
，未服用藥的動物中患病的比例為
.
（I）根據以上數據完成下列2×2列聯表：
患病 | 未患病 | 總計 | |
服用藥 | |||
沒服用藥 | |||
總計 |
（II）能否有99%的把握認為藥物有效？并說明理由.
附：
| … | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| … | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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