Question

【題目】如圖所示，拋物線與軸所圍成的區域是一塊等待開墾的土地，現計劃在該區域內圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業用地，其中A、B在拋物線上，C、D在軸上.已知工業用地每單位面積價值為元，其它的三個邊角地塊每單位面積價值元.

（1）求等待開墾土地的面積；

（2）如何確定點C的位置，才能使得整塊土地總價值最大.

Answer 1

【答案】（1）;（2）點C的坐標為.

【解析】

試題分析：（1）由于等待開墾土地是由曲線與x軸圍成的，求出曲線與x軸的交點坐標，再用定積分就可求出此塊土地的面積；（2）既然要確定點C的位置，使得整塊土地總價值最大,那我們只需先設出點C的坐標為(x，0)，然后含x的代數式表示出矩形地塊ABCD，進而結合（1）的結果就可表示出其它的三個邊角地塊的面積，從而就能將整塊土地總價值表示成為x的函數，再利用導數求此函數的最大值即可．

試題解析：（1）由于曲線與x軸的交點坐標為（－１，0）和(１,0),所以所求面積S=，

故等待開墾土地的面積為 3分

（2）設點C的坐標為，則點B其中，

∴ 5分

∴土地總價值 7分

由得 9分

并且當時，

故當時，y取得最大值. 12分

答：當點C的坐標為時，整個地塊的總價值最大. 13分