Question

若函數f（x）在定義域上存在不相等的實數x₁、x₂，使得

f(x1)+f(x2)

2

=f(

x1+x2

2

)，則稱此函數為“和諧函數”．下列函數中是“和諧函數”的是（　　）

• A．f（x）=x²
• B．f（x）=2^x
• C．f（x）=tanx
• D．f(x)=log

  1

  2

  x

Answer 1

分析：選項A可以用反證法；選項B和D可借助于圖象直觀說明；選項D取值驗證即可．

解答：解：若f（x）=x²為和諧函數，則存在x₁≠x₂，使得

x12+x22

2

=(

x1+x2

2

)2，即

2x12+2x22

4

=

x12+2x2x1+x22

4

，所以有(x1-x2)2=0，x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾，所以A不正確；
等式

f(x1)+f(x2)

2

=f(

x1+x2

2

)是指若點（x₁，y₁），（x₂，y₂）在一個函數圖象上，它們的中點也在這個函數圖象上，
由指數函數f（x）=2^x和對數函數f(x)=log

1

2

x的圖象如圖可知，兩函數圖象上不存在兩點滿足上面等式，所以B、D不正確；
對于C，取x1=-

π

4

，x2=

π

4

，則有

tan(- π 4 )+tan π 4

2

=tan

- π 4 + π 4

2

，所以函數f（x）=tanx為和諧函數．
故選C．

點評：本題考查了進行簡單的演繹推理，考查了反證法和特殊值法，考查了學生對指數函數和對數函數圖的理解與掌握．