Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+1）=

f(x)-f2(x)

+

1

2

，f（1）=1，已知a_n=f²（n）-f（n），則數列{a_n}的前40項和

-195

．

Answer 1

分析：根據題中函數關系式化簡整理，得到[f²（x+1）-f（x+1）]-[f²（x）-f（x）]=-

1

4

，結合題意算出a_n+1-a_n=-

1

4

，從而得到{a_n}構成公差d=-

1

4

的等差數列，由f（1）=1算出a₁=0，得到通項公式a_n=

1

4

（1-n），最后利用等差數列的前n項和公式即可算出數列{a_n}的前40項和．

解答：解：∵f（x+1）=

f(x)-f2(x)

+

1

2

，
∴f（x+1）-

1

2

=

f(x)-f2(x)

，
兩邊平方，得[f（x+1）-

1

2

]²=f（x）-f²（x）
化簡得[f²（x+1）-f（x+1）]-[f²（x）-f（x）]=-

1

4

∵a_n=f²（n）-f（n），可得a_n+1=f²（n+1）-f（n+1），
∴a_n+1-a_n=[f²（n+1）-f（n+1）]-[f²（n）-f（n）]=-

1

4

，
可得{a_n}構成公差d=-

1

4

的等差數列
∵f（1）=1，得a₁=f²（1）-f（1）=0
∴{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=

1

4

（1-n）
因此，數列{a_n}的前40項和為S₄₀=

40(a1+a40)

2

=20×（-

39

4

）=-195
故答案為：-195

點評：本題給出函數關系式，在已知數列a_n=f²（n）-f（n）的情況下求數列的前n項和．著重考查了函數式的配方整理、數列遞推關系，等差數列的通項公式與求和公式等知識，屬于中檔題．