Question

10．在邊長為1的正三角形AOB中，P為邊AB上一個動點，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{BP}$ 的最小值是（　　）

• A． -$\frac{3}{16}$
• B． $\frac{3}{16}$
• C． -$\frac{1}{16}$
• D． $\frac{1}{16}$

Answer 1

分析 P為邊AB上一個動點，不妨設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BA}$，（0≤λ≤1），$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{BP}$=-$\frac{1}{2}$λ+λ²=（λ-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{16}$，問題得以解決．

解答 解：∵P為邊AB上一個動點，
不妨設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BA}$，（0≤λ≤1）
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BP}$）•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{BA}$）•λ$\overrightarrow{BA}$=λ$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{BA}$+λ²${\overrightarrow{BA}}^{2}$=-$\frac{1}{2}$λ+λ²=（λ-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{16}$，
當λ=$\frac{1}{4}$時，有最小值，即為-$\frac{1}{16}$，
故選：C

點評 本題考查了向量的加減的幾何意義和二次函數的性質，屬于基礎題．