Question

已知函數f（x）=

-2x+b

2x+1+a

的定義域為R，且f（x）是奇函數，其中a與b是常數．
（1）求a與b的值；
（2）若x∈[-1，1]，對于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t²-λt+1恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為奇函數得f（0）=0，f（-1）=-f（1），解出a，b，再檢驗f（x）為奇函數即可；
（2）由（1）可求出f（x）表達式，該問題可轉化為x∈[-1，1]時，f（x）_max＜2t²-λt+1對任意t恒成立，結合二次函數圖象可得λ的限制條件．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數，∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

，
即

-1+b 2+a =0 - 1 2 +b 1+a =- -2+b 4+a

，解得

a=2 b=1

，此時f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，經檢驗可得f（-x）=-f（x），
故a=2，b=1．
（2）f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

-2x+1

2(2x+1)

=

-(2x+1)+2

2(2x+1)

=-

1

2

+

1

2x+1

，可知f（x）在R上是減函數，又x∈[-1，1]，∴f（x）的最大值為f（-1）=

1

6

．
∵對于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t²-λt+1恒成立，
∴2t²-λt+1＞

1

6

，即2t²-λt+

5

6

＞0，則有△＜0，即λ2-4×2×

5

6

＜0，解得-

2 15

3

＜λ＜

2 15

3

．
所以實數λ的取值范圍是{λ|-

2 15

3

＜λ＜

2 15

3

}．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性，定義是解決該類問題的基礎，不等式恒成立問題常轉化為函數最值問題解決．