Question

如圖是函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一個周期內的圖象，M，N分別是其最高點、最低點，MC⊥x軸，且矩形MBNC的面積為4π．
（1）求函數f（x）=Asin（ωx+φ）的一個解析式；
（2）求函數f（x）=Asin（ωx+φ）的單調遞減區間；
（3）試說明怎樣由y=sinx的圖象經過變換得到函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象．

Answer 1

解：（1）設函數的周期為T，則由題意可得=-=，∴T=π=，ω=2．
再矩形MBNC的面積為4π可得 2A•=4π 可得A=4．
再由五點法作圖可得 2×+φ=，∴φ=．
故函數f（x）=Asin（ωx+φ）的一個解析式為 f（x）=4sin（2x+）．
（2）令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，故函數的減區間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（3）把y=sinx的圖象向左平移個單位，再把圖象上各個點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變；
再把所得的圖象上各個點的縱坐標變為原來的4倍，橫坐標不變，即得函數f（x）=4sin（2x+）的圖象．
分析：（1）由函數的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而求得函數的解析式．
（2）令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數的減區間．
（3）根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，的出結論．
點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，正弦函數的單調減區間，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，屬于中檔題．